DERIVADA POR DEFINICIÖN

Buenas tardes la siguiente publicación es de la semana # 13 como estaba prevista en la planificación

DERIVADAS POR DEFINICIÓN

         DEFINICIÓN ANALÍTICA DE DERIVADA CON UN LIMITE

En terminología clásica, la diferenciación manifiesta el coeficiente en que una cantidad   cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad  .

En matemáticas, coeficiente es un factor multiplicativo que pertenece a cierto objeto como una variable, un vector unitario, una función base, etc.

En física, coeficiente es una expresión numérica que mediante alguna fórmula determina las características o propiedades de un cuerpo.

En nuestro caso, observando la gráfica de la derecha, el coeficiente del que hablamos vendría representado en el punto   de la función por el resultado de la división representada por la relación  Dy /Dx  , que como puede comprobarse en la gráfica, es un valor que se mantiene constante a lo largo de la línea recta azul que representa la tangente en el punto   de la función. Esto es fácil de entender puesto que el triángulo rectángulo formado en la gráfica con vértice en el punto  , por mucho que lo dibujemos más grande, al ser una figura proporcional el resultado de Dy /Dx  es siempre el mismo.Esta noción constituye la aproximación más veloz a la derivada, puesto que el acercamiento a la pendiente de la recta tangente es tanto por la derecha como por la izquierda de manera simultánea.

Considerando la función f definida en el intervalo abierto I y un punto a fijo en I, se tiene que la derivada de la función f en el punto   se define como sigue:

si este límite existe, de lo contrario,  , la derivada, no está definida. Esta última expresión coincide con la velocidad instantánea del movimiento continuo uniforme acelerado en cinemática.

Aunque podrían calcularse todas las derivadas empleando la definición de derivada como un límite, existen reglas bien establecidas, conocidas como teoremas para el cálculo de derivadas, las cuales permiten calcular la derivada de muchas funciones de acuerdo a su forma sin tener que calcular forzosamente el límite. Tales reglas son consecuencia directa de la definición de derivada y de reglas previas, como puede apreciarse en todo buen texto de cálculo infinitesimal.

También puede definirse alternativamente la derivada de una función en cualquier punto de su dominio de la siguiente manera:

,

La cual representa un acercamiento de la pendiente de la secante a la pendiente de la tangente ya sea por la derecha o por la izquierda según el signo de  . El aspecto de este límite está relacionado más con la velocidad instantánea del movimiento uniformemente acelerado que con la pendiente de la recta tangente a una curva.

No obstante su aparente diferencia, el cálculo de la derivada por definición con cualquiera de los límites anteriormente expresados, proporciona siempre el mismo resultado.

A continuación vamos a resolver el siguiente ejercicios aplicando la definición Analítica de derivación

Hallar la derivada de la función f(x) = 3x² en el punto x = 2.

Ejercicios de la definición de derivada

Calcula, mediante la definición de derivada, la derivada de las funciones en los puntos que se indican:

1f(x) = 4x² en x =

2f(x) = x² + 4x − 5 en x = 1.

3f(x) = x² − x + 1 en x = −1, x = o y x = 1.