LIMITES 00 /00 ,00 -- 00

MUY BUENOS DÍAS APRECIADOS ESTUDIANTES LA SIGUIENTE PUBLICACIÓN CORRESPONDE A LA (SEMANA # 11)

La indeterminación 

Se analizará el límite del cociente de dos funciones polinomiales en el que la variable crece o decrece indefinidamente. Se debe tener en cuenta que el límite de una función polinomial de grado n ³ 1 cuando x tiende a +¥ ó a -¥ es +¥ ó -¥ . Para resolver límites de este tipo, se dividen el numerador y el denominador de la función dada por xⁿ, siendo n el mayor de los grados de las funciones polinomiales. Luego se aplican las propiedades de los límites.

Ejemplo. Halle 

La función dada consiste en el cociente de dos funciones polinomiales: una de grado 4 y otra de grado 3. Por lo tanto, se dividen el numerador y el denominador por x⁴ y resulta:

 

En el ejemplo dado, el grado de la función polinomial del numerador es mayor que el de la del denominador y se obtuvo en este caso ¥.

Ejemplo. Determine 

Se dividen el numerador y denominador por x³:

.

Puede observarse que el ejemplo se refiere al cálculo del límite del cociente de dos funciones polinomiales del mismo grado y se obtuvo como resultado el cociente de los coeficientes de los términos de mayor grado de ambas.

Ejemplo. Calcule .

Se dividen el numerador y denominador por x⁴:

En este ejemplo, el grado de la función polinomiales del numerador es menor que el de la del denominador y se obtuvo como resultado cero.

Nota. Al calcular , donde p(x) y q(x) son dos funciones polinomiales, se obtiene:

a) el cociente de los coeficientes de los términos de mayor grado de la función polinomial del numerador y la del denominador, si ambas tiene el mismo grado.

b) +¥ ó –¥ si el grado de la función polinomial del numerador es mayor que el de la del denominador.

c) 0 si el grado de la función polinomial del numerador es menor que el de la del denominador.

Problema. Un tanque contiene 5000 litros de agua pura. Se bombea al tanque salmuera que contiene 30  gramos  de sal  por  litro  de  agua, a  razón de 25 . La  concentración  de  sal  después  de  t minutos  es: C(t) =  (en ).

a) ¿Cuánto tiempo tiene que transcurrir para que la concentración sea de 10 ?

b) ¿Qué sucede con la concentración cuando el tiempo transcurre indefinidamente?

Solución

a) Para determinar el tiempo que debe transcurrir para que la concentración sea de 10 , se debe igualar la concentración a 10.

10 =  Þ 2000 + 10t = 30t Þ 20t = 2000 Þ t = 100

Es decir, a los 100 minutos la concentración será de 10.

b) Para analizar el comportamiento de la concentración cuando el tiempo transcurre indefinidamente, se debe encontrar el límite cuando t ® +¥ , es decir . Como es un cociente de dos funciones polinomiales, se dividen el numerador y el denominador por t y se obtiene:

Cuando t ® +¥ la concentración tiende a 30 .

La indeterminación 

Los procedimientos algebraicos para salvar una indeterminación de este tipo, se desarrollan en los siguientes ejemplos:

   

Ejemplo. Determine el valor de .

Al reemplazar la variable por 2 resulta ¥ -¥ , que es una indeterminación.

Resolviendo la diferencia se obtiene:

Cuando x se aproxima a 2 por derecha, el numerador tiende a –3 y el denominador a 0 por valores mayores que él. Por lo tanto, la expresión resulta negativa y el límite es -¥.

 = -¥

   

Ejemplo. Calcule 

No es posible escribir= ¥ - ¥ , ya que esa diferencia es indeterminada.

Se expresa la función polinomial de la siguiente manera:     = –¥      ya que      x ® +¥     y (2 – x³)® –¥

   

Ejemplo. Halle 

 (indeterminado)

La expresión 

Por lo tanto:     

                      

 Nota : Les dejare algunos link 

http://www.sectormatematica.cl/contenidos/limind.htm   

http://www.youtube.com/watch?v=RZvhoHuBqZ8

http://es.scribd.com/doc/71833351/Limites-indeterminados